Introduzione Quaderno 33

Lezioni sui Gruppi d'Ordine Finito

1919-1920

Introduzione a cura di Simonetta Di Sieno

Il quaderno del 1919-20 contiene gli appunti per l'ultimo di una serie di corsi di Geometria Superiore dedicati da Corrado Segre all'esposizione di questioni algebriche: quelli del 1897-98 (Quaderno 11) e del 1911-12 (Quaderno 25) relativi ai gruppi continui di trasformazioni, quello del 1906-07 (Quaderno 20) sui gruppi in geometria e questo finale sui gruppi d'ordine finito.

Il periodo in cui Segre svolge questi "corsi di Algebra" rappresenta un momento cruciale per la storia della disciplina, in particolare per la teoria dei gruppi: tra la fine del diciannovesimo secolo e i primi decenni del ventesimo si realizza compiutamente il processo di generalizzazione che porta dai gruppi definiti solo come gruppi di permutazioni o di trasformazioni ai gruppi definiti assiomaticamente. Dal 1887 era disponibile una definizione rigorosa del concetto di gruppo finito di elementi generici (dovuta a Frobenius), mentre dal 1893 ne era disponibile una comprendente anche il caso di gruppo con infiniti elementi (dovuta a Weber). Nel 1916 fu pubblicato il primo trattato di teoria dei gruppi astratti (l'Abstract Group Theory di O. Ju. Schmidt, pubblicato a Kiev) che si occupava di gruppi indipendentemente dal fatto che essi fossero finiti oppure no. Tuttavia "this was not accompanied by a general acceptance of the associated method of presentation in papers, textbooks, monographs and lectures", come sostiene H. Wussing in The genesis of the abstract group concept (The MIT Press, Cambridge, 1969, p. 251). E dunque i quaderni offrono la possibilità di vedere come evolve, in un contesto ancora incerto, la presentazione che Segre fa della teoria dei gruppi ai suoi allievi.

Il quaderno del 1919-20 è composto da duecentotrentadue pagine che comprendono un indice iniziale, quattordici capitoli e due appendici, una alla fine dell'undicesimo capitolo e l'altra alla fine dell'ultimo, in cui sono raccolte sia integrazioni al testo che variazioni da apportare all'esposizione diretta in aula. Per quanto riguarda gli argomenti trattati, esso può essere suddiviso in due parti ben distinte: una prima di esposizione delle questioni teoriche e una seconda di applicazioni ed esempi.

Le prime lezioni ruotano attorno alla definizione di "gruppo" inteso qui da Segre come un insieme di trasformazioni chiuso rispetto al prodotto e il cui ordine, cioè il numero degli elementi che lo costituiscono, sia finito. Esse forniscono una rapida esposizione delle definizioni principali e una presentazione dei teoremi più significativi, sia pure spesso non dimostrati. L'intento di Segre è soprattutto quello di preparare gli strumenti indispensabili per affrontare le questioni discusse nella seconda parte e quindi egli organizza le nozioni in modo da garantirsi la massima efficacia nel raggiungere lo scopo. Un esempio significativo di questa attenzione all'economia del discorso è costituito da come nel settimo capitolo egli scelga di costruire il gruppo complementare di un gruppo G rispetto a un suo sottogruppo Γ_m legandolo al gruppo di sostituzioni che si determina fra i sistemi di imprimitività di G. E rimandi ad un secondo momento, quando si tratterà della teoria di Galois, "ulteriori considerazioni, di cui adesso non si capirebbe lo scopo".

In tutta la prima parte notevole incidenza ha da subito il concetto di "gruppi isomorfi". Nei quaderni precedenti (il confronto più significativo è con il quaderno del 1906-07 (Quaderno 20) che appare come la base su cui quello del 1919-20 è stato sviluppato) Segre vi era arrivato passando attraverso quello di "gruppi simili": come l'essere "simili" permetteva di passare "da una teoria all'altra, mutando semplicemente il linguaggio", così l'isomorfismo avrebbe permesso di studiare un gruppo a partire dalle proprietà di un altro. Invece, in queste lezioni dà direttamente la definizione che gli interessa:

"Diciamo fin d'ora isomorfi due gruppi G, G' quando ad ogni operazione di G ne corrisponde una di G', così che al prodotto corrisponda il prodotto. Per ora consideriamo solo gruppi isomorfi dello stesso ordine, e quindi in corrispondenza biunivoca d'isomorfismo. Ma ci si presenterà poi oltre a quest'isomorfismo oloedrico o semplice quello meriedrico o multiplo, con corrispondenza univoca in un sol senso." (p. 153, come inserzione a p.12)

Essa gli permette di parlare di "proprietà di struttura", cioè di proprietà determinate dalla legge di composizione esistente fra gli elementi del gruppo, e quindi invarianti per isomorfismo, con una scelta terminologica che non è frequente nella letteratura matematica italiana del periodo. E di dare significato all'introduzione dei gruppi astratti:

"Prima di proceder oltre convien rilevare che le cose esposte sui gruppi di operazioni, indipendenti dalla considerazione dei campi, ossia proprietà invarianti per isomorfismo, hanno una portata più generale, valgono per aggregati di elementi che non sono solo le trasformazioni: i così detti gruppi astratti." (p. 81)

A questi gruppi è dedicato tutto il nono capitolo in cui, dopo aver "recuperato" i risultati che nei capitoli precedenti erano stati espressi solo in relazione ai gruppi di trasformazioni, Segre può considerare "dal punto di vista più generale" il problema seguente:

"determinare tutti i casi possibili di gruppi d'ordine n, dal punto di vista della struttura o composizione, cioè della moltiplicazione. Ossia, tutte le possibili tavole di moltiplicazione per n elementi, soddisfacenti alle due condizioni [date in precedenza], dell'associatività e della biunivocità." (p. 85)

Lo studio viene condotto direttamente per i gruppi di ordine minore o uguale a 8. Segre ricava, di volta in volta, il periodo degli elementi, determina i generatori, le relazioni che intercorrono fra di essi e le eventuali proprietà particolari possedute dal gruppo (l'essere ciclico o abeliano e così via). Ma, terminata l'analisi di questi casi specifici, ritorna a fare un discorso generale: egli è interessato a determinare quando un gruppo qualsiasi di ordine n è semplice o composto, perché questa è un'informazione rilevante nella teoria di Galois per la risolubilità delle equazioni algebriche.

Il nono capitolo chiude la prima parte del quaderno. Nella seconda Segre mostra come l'utilizzo dei mezzi algebrici forniti dalla teoria dei gruppi finiti permetta di risolvere alcuni problemi geometrici: determinare tutti i possibili gruppi finiti di rotazioni nello spazio (e di conseguenza ricavare i gruppi dei movimenti rigidi che sovrappongono un poliedro regolare a se stesso), determinare tutti i possibili gruppi finiti di proiettività su forme di prima specie, determinare quali condizioni debba soddisfare un'equazione algebrica per essere risolubile per radicali, cioè risolubile graficamente grazie al solo utilizzo di riga e compasso.

Prima di concludere, va sottolineata la singolarità del decimo capitolo dedicato ai quaternioni. Segre inserisce questa digressione, come egli stesso la chiama, per offrire, attraverso l'esempio di un gruppo astratto, un'indicazione delle nuove strade che la definizione dei gruppi di tal genere ha aperto ai ricercatori. Certamente questa attenzione allo sviluppo dell'Algebra deriva a Segre dal riconoscimento dell'importanza che avrebbe potuto assumere, nel rinnovamento della Geometria, l'uso delle tecniche algebriche, ma non solo. Ad avvicinare Segre all'Algebra contribuisce infatti anche quella concezione fortemente unitaria della matematica che gli è peculiare e che già altre volte lo aveva indotto ad invitare i giovani ad uscire dai limiti ristretti di una disciplina.

Globalmente dunque le lezioni dell'anno accademico 1919-20 costituiscono un corso "avanzato" sulla teoria dei gruppi finiti. Per costruirlo, Segre non si è limitato a riprendere gli appunti presi dodici anni prima, ma ne ha fatto una vera riscrittura dando spazio anche ai nuovi contributi presenti nella letteratura soprattutto estera degli anni immediatamente precedenti.

Un'analisi più dettagliata di questo quaderno, con l'indice degli autori citati e la bibliografia che qui riportiamo, può essere trovata nella tesi di laurea Sul Quaderno Lezioni sui gruppi d'ordine finito (1919-1920) di Corrado Segre discussa da Monica Gianoli nell'anno accademico 1996-97 presso il Dipartimento di Matematica dell'Università degli Studi di Milano.