Introduzione Quaderno 11

Lezioni sui gruppi continui di trasformazioni

1897-98

Introduzione a cura di Simonetta Di Sieno

Era stato Sophus Lie (1842-99) intorno al 1874 a creare la teoria dei gruppi continui, mostrando la possibilità di applicazione della teoria dei gruppi alle equazioni differenziali, e a dedicarsi poi, per tutti gli anni Settanta e Ottanta, al suo sviluppo (il primo volume della sua Theorie der Transformationsgruppen è del 1888). Gli studi sui legami fra la teoria dei gruppi di Lie e la geometria compiono così i primi passi solo dopo il 1890 e, come scrive Thomas Hawkins in Lie groups and geometry: the italian connection (Supplemento ai Rend. Circolo Mat. Palermo, Algebra e Geometria (1860-1940): il contributo italiano, 4-8 maggio Cortona, 2, 36, 1994, pp. 185-206),

"Italian geometers played an especially important role in bringing this about."

È chiaro che questo giudizio trova la sua base soprattutto nelle opere a stampa di Segre (e del suo allievo Gino Fano), ma una conferma significativa gli viene anche da alcuni dei quaderni di Segre: quello del 1897-1898, di cui qui ci occupiamo, e quelli del 1906-07 (Quaderno 20) e del 1911-12 (Quaderno 25), intitolati rispettivamente I gruppi in geometria e Gruppi continui di trasformazioni, in cui l'argomento viene ripreso sotto angolazioni diverse.

Il Quaderno del 1897-98 è suddiviso in venticinque capitoli, per i quali i titoli che compaiono nell'Indice iniziale proposto da Segre non sempre corrispondono a quelli che si incontrano effettivamente nel testo. Inoltre i primi quattro capitoli - a differenza dei successivi - sono suddivisi in paragrafi (non numerati) che non sono citati nell'Indice.

L'esposizione ha da una parte il carattere piuttosto svelto che ci si aspetta da appunti per le lezioni (vi si possono infatti incontrare espressioni del tipo "cenno della rappresentazione degli S_k di S_nmediante coordinate"), ma dall'altra spesso presenta dimostrazioni e citazioni bibliografiche molto accurate. Alcune note a piè pagina (per esempio quella di pagina 48) confermano l'impressione che non si tratti di appunti abbandonati dopo il loro primo uso, bensì di materiale ripreso più volte per i corsi degli anni successivi, in particolare per quello del 1911-12 (Quaderno 25).

In maniera evidente, l'intento di Segre è quello di esporre, nelle sue parti fondamentali, la teoria dei gruppi continui finiti di trasformazioni compiendo di questi anche un'opera di classificazione. Come è ovvio, il suo approccio alla questione ne privilegia gli aspetti geometrici e ne lascia più nell'ombra la struttura algebrica. Ecco come descrive qual è il punto di vista da cui si propone di studiare i gruppi continui finiti:

"Si possono considerare quelle proprietà che sono invariabili rispetto all'isomorfismo; e ne parleremo poi, a proposito della composizione di gruppi. Ma il punto di vista consueto sarà più ristretto: si tratterà di studiare e determinare i gruppi di S_n considerando come identici due gruppi quando si corrispondono in una trasformazione puntuale (continua, analitica) di S_n. Se cioè fra due S_n di punti x , y si può fare una trasformazione
y_i = Y_i(x) ,..., x_i>= X_i(y)
modo che il gruppo x_i' = f_i (x,a) si muti in y' = F_i(y,a) , si dirà che questi due gruppi sono simili. E s'intende che un gruppo non cambia, se al posto dei parametri a se ne introducono altri, con la sostituzione se questa è invertibile, sì che . Quindi gruppi simili posson differire, oltre che per le variabili, anche per i parametri. Orbene il nostro punto di vista starà nel considerare come un sol gruppo tutti i gruppi simili a uno dato. La dimensione di un gruppo, la transitività, la primitività son caratteri corrispondenti a questo punto di vista. Anche le proprietà invariabili per isomorfismo saranno invariabili nel passaggio a gruppi simili, poiché questi sono isomorfi." (p. 95)

Il quaderno si apre con una serie di osservazioni generali - introduttive agli oggetti il cui studio verrà approfondito successivamente - che ne occupano tutta la prima parte, almeno fino al capitolo "Generalità sui gruppi continui finiti di trasformazioni di S_n". Tali considerazioni hanno un carattere di grande concisione, sicuramente più spiccata di quella riservata alla presentazione dei risultati nella seconda parte del manoscritto che risulta molto più dettagliata ed è accompagnata da numerosi esempi.

Inizialmente, Segre introduce i gruppi di trasformazioni, intesi come insiemi di trasformazioni tali che il prodotto di due di esse, distinte o no, sia ancora un elemento dell'insieme. La distinzione fra gruppi costituiti da un numero finito di operazioni e gruppi di infinite operazioni gli offre l'occasione per presentare brevemente dove i gruppi "compajono": quelli finiti nell'algebra e nella cristallografia, quelli infiniti e discontinui nella teoria delle funzioni e quelli infiniti e continui nell'integrazione delle equazioni differenziali. Ma soprattutto gli permette di fare un cenno ai vari indirizzi della geometria nel senso di Klein (la conoscenza dei gruppi di trasformazioni elementari appare come un requisito preliminare), al concetto di gruppo fondamentale di una geometria, di invariante, di rappresentazione di una geometria sopra un'altra ecc., cioè gli permette di richiamare l'attenzione su un argomento a proposito della cui importanza si era già espresso più volte (per esempio, nella premessa alla traduzione italiana curata da Gino Fano per gli Annali di Matematica pura ed applicata delle due Memorie di Klein note come il "programma di Erlangen"; Annali Mat. pura ed applicata, 17, 1890, pp. 307-344).

Quindi, dopo aver presentato alcune nozioni generali (sottogruppi di un gruppo, sottogruppi coniugati e invarianti, sottogruppi permutabili, gruppi semplici e composti, isomorfismi) e aver dato una classificazione dei gruppi costituiti da un numero finito di proiettività, fissa l'attenzione sul campo delle trasformazioni, cioè sull'ambiente in cui le trasformazioni operano: gli spazi a un numero qualunque n di dimensioni i cui punti sono classi di equivalenza di (n+1)-uple di numeri reali o complessi non tutti nulli contemporaneamente. Già in alcune Memorie precedenti (per esempio, in quella comparsa nel 1884 sui Mathematische Annalen con il titolo Étude des différentes surfaces du quatrième ordre à conique double ou cuspidale (générale ou décomposée) considerées comme des projections de l'intersection de deux variétés quadratiques de l'espace à quatre dimensions ( Segre 1884e) e in quella Su alcuni indirizzi nelle investigazioni geometriche pubblicata nel 1891 sulla Rivista di Matematica (Segre 1891a), egli aveva mostrato l'utilità di ricorrere agli iperspazi per studiare proprietà dello spazio ordinario S₃ e addirittura aveva scritto:

"lo spazio illimitato senz'alcun vincolo al numero di dimensioni, è l'ambiente in cui ormai si debbono considerare le forme geometriche."

Ora, in questo quaderno, individua tali spazi come i più adatti per studiare "con la massima generalità e col sussidio dei ragionamenti geometrici" i gruppi continui di trasformazioni e quindi li propone come l'ambiente in cui operare usualmente.

Così, soltanto a p. 79 può dare la definizione di "gruppo continuo finito di trasformazioni": un gruppo di trasformazioni x_i' = f_i(x₁,... x_n, a₁,... a_r) dello spazio Sn tali che le f_i siano funzioni analitiche delle x e delle a e il determinante funzionale rispetto alle x non sia identicamente nullo. Vista la definizione di gruppo accettata inizialmente, si presenta subito il problema dell'esistenza di gruppi che non contengono necessariamente le trasformazioni inverse. Segre riprende dal terzo volume della Theorie der Transformationsgruppen di Lie il teorema secondo cui ogni gruppo continuo ∞^r (cioè ogni gruppo nel quale le f_i dipendono da r parametri essenziali a_i) può essere immerso in un altro, pure ∞^r, che contiene l'identità e le inverse e annuncia che nel seguito per i gruppi verrà fatta la richiesta che contengano l'identità e quindi le inverse. Ne studia alcune proprietà algebriche generali (transitività, primitività) e presenta più in dettaglio quelli monomi, cioè dipendenti da un solo parametro, e quelli proiettivi.

Infine, passando attraverso il così detto "teorema principale" (per il quale, alla dimostrazione "con cui Lie [lo] ha scoperto" ne affianca una più rigorosa che comprende anche la determinazione di condizioni sufficienti per individuare i sottogruppi di un gruppo continuo), ottiene alcuni risultati generali di cui si preoccupa, in chiusura di corso, di mostrare, sempre sulla falsariga del testo di Lie, l'applicazione ai gruppi continui della retta e del piano.

Nota. Un'analisi più dettagliata di questo quaderno, con l'indice degli autori citati e la bibliografia che qui riportiamo, si trova nella tesi di laurea Sul Quaderno 'Lezioni sui gruppi continui di trasformazioni (1897-1898)' di Corrado Segre discussa da Marina Tabacchi nell'a. a. 1993-94 presso il Dipartimento di Matematica dell'Università degli Studi di Milano.