Introduzione Quaderno 13

Lezioni di Geometria Numerativa

1899-1900

Introduzione a cura di Aldo Brigaglia

Il corso di Geometria Superiore tenuto nell'anno accademico 1899-900 riguarda la geometria numerativa, cioè quella branca della geometria algebrica che si occupa in particolare del calcolo del numero degli enti soddisfacenti condizioni date. L'articolazione del corso si può evincere dall'indice.

Come spesso accade nei quaderni di Segre l'argomento trattato è sufficientemente generale per dare occasione a una presentazione della geometria algebrica (alternata spesso con la geometria generale, cioè la geometria differenziale) che, vista con un taglio specialistico, servisse sia da introduzione generale, sia da avviamento alla ricerca. Gli interessi di Segre per l'argomento risalivano ai primi suoi passi nella ricerca, ma si erano intensificati negli anni immediatamente precedenti l'inizio del corso (cfr. Segre 1897-98, Segre 1898 e Segre 1900) ed egli aveva con tutta evidenza un gran numero di proposte di ricerca sull'argomento. Nel corso la geometria numerativa viene così presentata:

"Il problema della geometria numerativa è questo: assegnare il numero delle soluzioni di una data questione relativa ad enti geometrici. Più precisamente: determinare quanti sono (zero, o in numero finito o infinito) gli enti geometrici di data definizione i quali soddisfano a date condizioni. La definizione dev'esser tale che si tratti di enti algebrici, e così pure le condizioni devon essere traducibili in equazioni algebriche. Si ammetteranno però sempre soluzioni reali ed immaginarie, enti complessi." (p. 3).

Il testo-base viene identificato in Schubert H., Kalkül der abzählenden Geometrie, (Leipzig 1879); il metodo fondamentale è quello algebrico della teoria dell'eliminazione; lo stile, altamente suggestivo, prevede continui inserimenti di teoremi classici a mo' di esempi nell'ambito dell'esposizione della teoria particolare. Così, come già fatto notare, la scelta di un punto di vista particolare e specialistico si fonde armonicamente con le esigenze di un corso base di geometria algebrica. Come esempi iniziali posso citare il teorema di Poncelet (se esiste un n-agono iscritto in una conica e circoscritto a un'altra allora ne esistono infiniti e ogni punto della conica è vertice di un tal poligono) o il teorema del birapporto di una cubica entrambi dimostrati nelle prime pagine nel capitolo introduttivo. Come si vede si passa con molta rapidità attraverso argomenti disparati. Ciò che dà unità alla trattazione è il punto di vista numerativo e questo aggiunge un particolare fascino didattico. Infine gli argomenti su cui Segre invita gli studenti alla ricerca sono, come sempre contraddistinti dalla frase sarebbe cosa da fare. Molti di tali argomenti sono stati effettivamente sviluppati.

Sia la complessità dei calcoli algebrici da effettuare, sia la difficoltà di numerare e di conteggiare la effettiva molteplicità degli oggetti geometrici in oggetto, avevano dato luogo a un gran numero di cosiddetti principi (il principio di corrispondenza, il principio di continuità, il principio di conservazione del numero, ecc.) tutti compendiati in Schubert 1879, che avevano uno status logico ambiguo al confine tra i metodi euristici e la congettura, tali da dar luogo a vivaci e inevitabili polemiche in un periodo di accresciute esigenze di rigore.

Vale forse la pena ricordare che anche su un uso spregiudicato di metodi euristici nel calcolo numerativo era divampata nel 1891 la polemica di G. Peano con Segre e che quest'ultimo aveva nel 1892 pubblicato in ( Segre 1892a) un'interessante storia del principio di corrispondenza in cui aveva messo a fuoco alcune tematiche di attualità. Era stato infatti proprio all'interno di un articolo di geometria numerativa che Guido Castelnuovo (Castelnuovo G.,Numero delle involuzioni razionali giacenti sopra una curva di dato genere, Rend. R. Acc. Naz. Lincei, (4), 5, 1889, pp. 130-133) dieci anni prima aveva affermato di dover usare nell'interesse dell'avanzamento delle scienze, "teoremi non ancora dimostrati" per "risolvere problemi difficili". I risultati di Castelnuovo in questo lavoro erano stati utilizzati quasi immediatamente da Segre con queste parole:

"La démonstration ingénieuse, que ce géomètre y donne de cette importante formule, pourrait laisser sur sa validité absolue des doutes, qui se réfléchiraient sur le n° présent et plus loin ... ; cependant les confirmations qu'on trouve de ces résultats me portent à penser qu'ils sont absolument vrais." (Segre 1889a, p. 1).

Peano nelle sue Osservazioni a Segre 1891a cita le parole di Segre commentando in modo duro l'abitudine alla mancanza di rigore, senza il quale "non si può fare avanzare nemmeno di un passo la scienza".

D'altra parte l'argomento trattato era divenuto, nel periodo scelto, di grande attualità nell'ambito della problematica relativa ai fondamenti della geometria algebrica. Ricordiamo che nell'estate dello stesso 1900, durante il congresso internazionale dei matematici di Parigi, il problema della rigorizzazione del principio della conservazione del numero diveniva oggetto di uno (il XV) dei famosi 23 problemi di Hilbert, che così era espresso:

"Il problema consiste in questo: stabilire rigorosamente e con un'esatta determinazione dei limiti della loro validità quei numeri geometrici che soprattutto Schubert ha determinato sulla base del cosiddetto principio di posizione speciale o della conservazione del numero per mezzo del calcolo numerativo da lui sviluppato. Sebbene l'algebra d'oggi garantisca, in linea di principio, la possibilità di sviluppare i processi d'eliminazione, tuttavia, per la dimostrazione dei teoremi di geometria numerativa si richiede decisamente di più e cioè di portare avanti in concreto il processo d'eliminazione nel caso d'equazioni di forma speciale, in modo tale che il grado delle equazioni finali e la molteplicità delle loro soluzioni possano essere prevedute." (Hilbert D., Sur les problèmes futures des mathématiques, Comptes Rendus, II Congrès international des mathématiciens, Paris, 1900, p. 95, t. d. A.).

Segre ha quindi ben presente l'ampiezza del dibattito sui fondamenti e non manca di avvisarne gli studenti. Così nel paragrafo riguardante il computo delle costanti, dopo aver introdotto il numero delle costanti come dimensione di una varietà algebrica e la dimensione o molteplicità di una condizione, Segre è molto cauto nell'avvisare dei pericoli a cui tali concetti usati incautamente possono portare e nell'enumerare quei casi in cui possono essere usati con sicurezza. A pagina 50 ad esempio afferma:

"Quando non si sia nel caso del teorema precedente il conto delle costanti e delle condizioni potrebbe condurre ad errori."

e prosegue con un'attenta esemplificazione di errori anche banali in cui l'uso incauto di principi non dimostrati può portare. A tale esemplificazione segue l'enumerazione di numerosi accorgimenti fatti per non cadere in errore:

"Dopo questi esempi per far vedere gli errori a cui può condurre il conto delle costanti, fatto senza riguardi, veniamo a dire appunto dei riguardi da usare, quando non si sia nel caso favorevole."(p. 55).

La complessità del problema di rigorizzazione che Segre si è posto emerge proprio nello sforzo di enunciare il teorema di Plücker: Se una classe di problemi dipendente da k parametri è in generale impossibile e ammette soluzione per una scelta particolare dei parametri, allora per tale scelta ne ammette infiniti. Come era sua consuetudine Segre, successivamente allo svolgimento del corso, ritorna con note a margine sull'argomento trattato, lo approfondisce, ne aggiorna la bibliografia (e per questo si troveranno indicate tra le opere citate opere successive allo svolgimento del corso). Proprio in corrispondenza al teorema di Plücker troviamo questa nota significativa:

"Non riesco a farla completa: debbo mettere una restrizione." (p. 58).

Le numerose osservazioni di questo tipo ci presentano quindi un Segre in sintonia con le preoccupazioni d'ordine fondazionale e rigorista del tempo e attento al dibattito internazionale sulla questione.

La parte forse più corposa del corso (per un complesso di circa sessanta pagine) è dedicata al già citato principio della conservazione del numero e al calcolo simbolico di Schubert. Segre è ben cosciente del fatto che l'uso assai discutibile del principio in oggetto è basato fondamentalmente sulla soluzione di una delle questioni più delicate dei fondamenti della geometria algebrica, la questione della corretta determinazione della molteplicità di intersezione di due varietà. È forse bene ricordare come proprio sulla rigorosa definizione di tale molteplicità si sia a lungo concentrata l'attenzione della nuova generazione di geometri algebrici (L.B. Van der Waerden, A. Weil, ecc.) nell'intento di rendere del tutto rigorosi i fondamenti della geometria algebrica (su questo argomento cfr. Van der Waerden L.B., The foundations of algebraic geometry from Severi to André Weil, Arch. for the Hist. of Exact Sciences, 7, 1971, pp. 171-180 e anche Brigaglia A., Ciliberto C.Italian Algebraic Geometry between the Two World Wars, Queen's Papers, Kingston, 1995).

L'enunciato del detto principio è quello classico:

"In una data varietà ^c di enti G, il numero di quei G che verificano una data condizione c-pla, la quale implichi particolari relazioni con dati enti G', è un determinato numero finito; il quale non può mutare, a meno di diventare infinito, qualunque particolarità s'introduca negli enti G', purché si tenga sempre presente la loro definizione." (p. 68).

Segre si rende subito conto del fatto che la sua dimostrazione "abbozzata" nel testo è parziale e insufficiente e aggiunge in nota un significativo: "Ricerca da fare". In tale ricerca consiste fondamentalmente, infatti, il XV problema che, come già detto, l'anno successivo Hilbert avrebbe presentato al Congresso Internazionale dei Matematici. L'esposizione prosegue con un dettagliato esame di numerosi esempi la cui struttura essenziale consiste nel sostituire un ente geometrico (curva superficie, varietà) con un suo caso degenere in cui si spezzi in rette o comunque in varietà più semplici.

Corposi e significativi sono i riferimenti di Segre a questioni metodologiche. A proposito dello scopo dei metodi relativi al calcolo simbolico egli infatti afferma:

"1° abbreviare la risoluzione del problema, cioè il calcolo effettivo di un numero che sia abbia a determinare, 2° dare maggiore uniformità o regolarità (maggior metodo) ai procedimenti della geometria numerativa, 3° semplificare, facilitare, questi procedimenti, nel senso di ridurre al minimo numero possibile i ragionamenti geometrici, deducendone i risultati che si cercano coll'uso di convenienti algoritmi." (p. 108).

A un altro famoso "principio" della geometria numerativa, il principio di corrispondenza, sono dedicati alcuni capitoli successivi. Alla storia di tale principio Segre aveva peraltro dedicato, come si è detto, (Segre 1892a) un articolo di carattere storico.

Nelle "Osservazioni Finali" poi Segre conferma lo spirito sistematico e fondazionale che pervade il corso. Dopo aver ancora sviluppato classici esempi relativi alla numerazione delle coniche soddisfacenti a condizioni date (su cui esistevano classici errori e dibattiti che avevano visto protagonisti A. Cayley, J. Steiner, M. Chasles, G. H. Halphen, E. Study e tanti altri) egli mostra che tali esempi possono essere sempre ricondotti, attraverso metodi cari alla scuola italiana al problema di

"determinare quante sono le intersezioni di due o più varietà di punti in S_c o in una certa M_c, fuori eventualmente di certe varietà eccezionali" (p. 261).

E conclude affermando:

"Come si sa definire esattamente e trattare la molteplicità d'intersezione di una curva e di una forma in un punto comune, qualcosa di analogo si potrà fare per una M_k e una M_r-k. Richiamo l'attenzione su questi argomenti!" (p. 265)

Come già detto si tratta di argomenti che avrebbero tenuto banco per almeno un sessantennio nello studio della geometria algebrica.

Al corso, che poneva, come si è visto, problemi di ricerca aperti e profondi, assistettero studenti di alto livello. Tra di essi certamente Francesco Severi, Giovanni Giambelli, Alberto Tanturri. Tutti e tre divennero dei grandi specialisti di geometria numerativa.

D'altra parte alla geometria numerativa, con chiare influenze di Segre e del suo corso sono dedicati i primi lavori di Severi:

1900,Ricerche sulle coniche secanti delle curve gobbe, Atti R. Acc. Sci. Torino, 35, pp.774-789,
1900, Le coincidenze di una serie algebrica ^(k+l)(r-k) di coppie di spazi a k dimensioni, immersi nello spazio ad r dimensioni, Rend. R. Acc. Naz. Lincei, 5, 9, pp. 321-326,
1900, I gruppi neutri con elementi multipli, in un'involuzione sopra un ente razionale, Rend. R. Acc. Naz. Lincei, 5, 9, pp. 379-381,
1900,Sopra le coniche che toccano e secano una o più curve gobbe, Atti R. Acc. Sci. Torino, 36, pp. 74-93,
1902, Sugli spazi plurisecanti di una semplice infinità razionale di spazi, Rend. R. Acc. Naz. Lincei, 5, 9, pp. 52-56.

Giambelli diventò presto il maggior specialista mondiale di geometria numerativa nell'indirizzo di Schubert e la diretta influenza di questo corso è assai evidente nei suoi primi lavori:

1901, (con F. Palatini) Prodotto di due condizioni caratteristiche relative ai piani di un iperspazio, Atti R. Acc. Sci. Torino, 36, pp. 459-480,

1903, Risoluzione del problema degli spazi secanti, Memorie R. Acc. Sci. Torino, 2, 52, pp. 171-211.

In conclusione si tratta di un corso che, oltre alle doti estetiche peculiari di Segre, ha in qualche modo indirizzato uno dei filoni di ricerca più validi della scuola geometrica italiana.

Sui lavori di geometria numerativa della scuola di Corrado Segre si possono consultare:

Kleiman S.
1976, Problem 15. Rigorous Foundation of Schubert's Enumerative Calculus, in Browder F. (ed.) Mathematical developments arising from Hilbert problems, A.M.S., Providence, pp. 445-482
Brigaglia A.
1982, La geometria algebrica italiana di fronte al 15° problema di Hilbert, in Montaldo O., Grugnetti L. (eds.), La storia della matematica in Italia, Università di Cagliari, pp. 469-481
Boffi G.
1986, On some trends in the Italian geometric school in second half of the 19^th century 1986, Riv. di Storia delle Scienze, 3, pp.103-112
Laksov D.
1994, Remarks on G. Z. Giambelli's work and life, in Brigaglia A., Ciliberto C., Sernesi, "1860-1940. Algebra e Geometria: il contributo italiano", Suppl. ai Rend. Circolo Mat. Palermo, 2, 36, pp. 207-218.