Introduzione Quaderno 16

Lezioni di Geometria Non Euclidea

1902-1903

Introduzione a cura di Simonetta Di Sieno

L'interesse di Corrado Segre per l'argomento trattato in questo quaderno risale probabilmente già agli anni dei suoi studi universitari. Fra le carte ritrovate ad Ancona, in una cartella con l'indicazione "Resoconto di scritti letti", si trovano circa duecento fogli relativi alle letture di Segre nei primi anni della sua attività scientifica (cfr. Gario P., Su alcune carte di Corrado Segre recentemente rinvenute, Atti Acc. Scienze Torino, 123, 1989, pp. 187-198). Da essi emerge che egli studiava particolarmente opere di autori tedeschi come B. Riemann e F. Klein, mentre fra gli autori italiani più frequentemente citati vi si trovano G. Battaglini e E. Beltrami, principale divulgatore della geometrie non euclidee in Italia il primo, e autore del celebre Saggio di interpretazione della geometria non euclidea (1868) il secondo. In particolare, nella cartella recante sul frontespizio "Lettere a scienziati", contenente carte relative al periodo 1882-84, sono stati ritrovati alcuni fogli di appunti non datati che forse avrebbero dovuto raggiungere Beltrami tramite D'Ovidio: nella prima pagina, in alto a destra, si legge "A D'Ovidio per Beltrami" e il contenuto è relativo ad alcune "Considerazioni sulla superficie di curvatura costante e sul piano non euclideo". Questa attenzione di Segre agli scritti "non euclidei" di Beltrami continua anche negli anni successivi: il saggio Un Precursore Italiano di Legendre e Lobatschefskij del 1889 (Rend. Acc. Naz. Lincei, 4, 5, 1889, pp. 441-448) chiaramente contribuisce ad ispirare l'articolo di Segre del 1903 (Segre 1902-03) dedicato all'influenza di G. Saccheri sulla costruzione della geometria non euclidea.

L'importanza che Segre attribuisce alle geometrie non euclidee è ulteriormente confermata dalla premessa che egli fa alla traduzione italiana (a cura di G. Fano, Annali Mat. pura ed applicata, 2, 17, 1890, pp. 307-344), delle due memorie di Klein note come il Programma di Erlangen. In essa, spiegando le ragioni del suo interesse per la traduzione, afferma:

"Tante idee generali ed ingegnose che si trovano in queste pagine come l'identità sostanziale fra varie discipline matematiche (ed in particolare fra discipline analitiche e geometriche!) che si rappresentano una sull'altra quando si tenga conto dei gruppi di trasformazioni che in esse si pongono a base; [...] tante giuste osservazioni che mettono sotto la luce più vera e precisano nel miglior modo il carattere di vari argomenti e varie dottrine, e specialmente di alcune più discusse, come quella delle varietà più volte estese, e la geometria non euclidea: tutte queste cose son cose o non sufficientemente conosciute e studiate dai giovani, o note solo per via indiretta. Su esse mi sia permesso richiamare tutta la loro attenzione."

I lavori di Segre riguardanti da vicino queste nuove teorie geometriche appartengono ai primi anni del ‘900: sono il quaderno che stiamo presentando e l'articolo Congetture intorno alla influenza di Girolamo Saccheri sulla formazione della geometria non-Euclidea (Segre 1902-03). Dall'analisi del quaderno e delle successive Congetture sembra di poter dire che il primo costituisce uno "stadio preliminare" dell'articolo, in cui già sono presenti gli elementi nuovi e originali di questo, cioè proprio le congetture, che in qualche caso hanno il carattere di certezza, sull'influenza diretta o indiretta che Girolamo Saccheri, con le sue ricerche sulla teoria delle parallele, ha esercitato sullo sviluppo delle geometrie non euclidee.

Questi lavori di Segre hanno in certa misura spianato la via ad alcune opere che, scritte successivamente al 1903, analizzano oltre alla parte costruttiva anche lo sviluppo storico delle teorie geometriche in questione. Per esempio, i testi La geometria non euclidea di Roberto Bonola (Zanichelli, Bologna 1906) e Geometria non euclidea. Introduzione geometrica alla teoria della relatività di Gino Fano (ibidem, 1935), pur non rifacendosi esplicitamente al quaderno di Segre, nella scelta dei documenti mostrano di privilegiare quelli da lui individuati come i più ricchi di significato per chi voglia presentare le tappe più importanti nella storia delle geometrie non euclidee e suggerire le referenze bibliografiche più pregnanti.

Ma veniamo alla struttura del quaderno che, scritto per il corso di Geometria superiore tenuto presso l'Università di Torino nell'anno accademico 1902-03, si sviluppa su oltre duecentocinquanta pagine e si suddivide in diciassette capitoli. Esso contiene alcune note successive alla stesura iniziale, probabilmente scritte in tempi più vicini alle singole lezioni: per esempio, alla p. 69 si legge "in scuola ho presentato le 3 parti di questo ragionamento in ordine inverso" e alle pp. 187, 193, 213, 214, 215 si trovano note analoghe. Altre annotazioni, invece, sono state fatte a distanza di tempo e recano l'indicazione di opere pubblicate dopo la prima stesura del quaderno: esempi di tal genere si trovano alle pp. 13, 45, 74, 99-100, 106 e 117-118.

Il primo capitolo, che con il titolo "Introduzione. L'essenza della geometria" (p. 3) è la presentazione dell'intero quaderno, si rivela subito particolarmente importante perché, con lo scopo di condurre a "giudicare del posto che occupa la geometria fra le scienze", Segre vi espone quale sia il moderno concetto di geometria: una "scienza puramente deduttiva" che partendo da certe "ipotesi, convenzioni" ne "sviluppa le conseguenze logiche". In tale quadro le geometrie non-euclidee sono

"quelle che si svolgono logicamente quando dall'insieme delle premesse dell'edifizio euclideo se ne sopprima qualcuna. Dapprima quel nome s'introdusse per quella geometria che si ha togliendo il postulato delle parallele: ed è appunto di quella che noi ci occuperemo." (p. 22)

Un'analoga presentazione degli argomenti sviluppati in questo capitolo si trova nel quaderno contenente le lezioni tenute da Segre nel corso per la Scuola di Magistero (Quaderno 40).

A questo capitolo fanno seguito "un rapido sguardo sulle prime cose di Euclide, per sapere poi quali fra esse conserveranno per noi la loro validità", un resoconto dei principali tentativi che furono fatti, fin dai tempi più remoti, per dimostrare il V postulato e infine una rassegna delle opere fondamentali dei fondatori delle geometrie non euclidee, che conclude quella che può essere individuata come la prima parte del quaderno.

La seconda parte è dedicata all'esposizione tecnica della geometria non euclidea relativa all'ipotesi dell'angolo acuto di Saccheri. Questa teoria geometrica viene presentata diffusamente seguendo la cosiddetta ‘via elementare': a partire dagli assiomi euclidei opportunamente modificati, vengono dedotte le nuove proposizioni con un procedimento analogo a quello seguito da Euclide nei suoi Elementi.

I capitoli introduttivi descritti fin qui occupano una notevole parte del manoscritto e solo a partire da p. 172 Segre espone quei risultati che gli consentono di raggiungere lo scopo finale, cioè la dimostrazione della non contraddittorietà delle geometrie non euclidee. Inizialmente, dopo aver dimostrato il teorema secondo cui nello spazio infinitesimo (cioè nello spazio in cui tutti i segmenti rettilinei sono infinitesimi) vale la geometria di Euclide, riesce ad ottenere "in pari tempo le geometrie, anzi, le trigonometrie relative alle 3 ipotesi di Saccheri"(p. 172). Quindi, introdotta un'ipotesi di "omogeneità di tutto lo spazio" (secondo la quale in tutto lo spazio "sian possibili i movimenti"), ottiene i tre possibili casi di spazi lineari (spazi in cui vale il postulato euclideo ‘per due punti qualunque passa sempre una sola retta'), i quali "sono stati chiamati dal Klein: parabolico, ellittico, iperbolico"(p. 186).

Infine, avendo costruito in corrispondenza biunivoca con lo spazio geometrico uno spazio analitico in cui ha luogo la geometria proiettiva, utilizzando i cosiddetti "modelli proiettivi" o "modelli di Klein", dimostra ciò che si era proposto: che le geometrie non euclidee iperbolica ed ellittica sono possibili logicamente quanto quella euclidea (p. 202).

Nei capitoli 15, 16, 17 che occupano le pagine 219-259 invece vengono illustrate, con un'esposizione che si fa sempre più discorsiva, altre maniere per affrontare la questione che sta alla base di queste lezioni. In particolare, nel primo, dedicato a "L'indirizzo proiettivo", Segre accenna al modo in cui si può stabilire "la geom^a projettiva, prima di parlare di grandezze (distanza e angoli)" e quindi subordina ad essa le geometrie non euclidee, presentando le proprietà metriche delle figure a partire da relazioni proiettive fra queste e un'opportuna quadrica scelta come "assoluto" (p. 219). Nel secondo, sotto il titolo "L'indirizzo basato sull'elemento lineare", dimostra, utilizzando la geometria differenziale delle superfici introdotta da Gauss, che la geometria piana euclidea, quella ellittica e quella iperbolica hanno luogo, rispettivamente, su regioni convenientemente limitate delle superfici a curvatura costante nulla, positiva e negativa (p. 245).

Nota.
Un'analisi più dettagliata di questo quaderno, con l'indice degli autori citati e la bibliografia che qui riportiamo, può essere trovata nella tesi di laurea Sul Quaderno 'Lezioni di geometria non euclidea (1902-1903)' di Corrado Segre discussa da Valeria Galletti nell'a. a. 1994-95 presso il Dipartimento di Matematica dell'Università degli Studi di Milano.