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Introduzione Quaderno n. 3

Introduzione alla geometria sugli enti algebrici semplicemente infiniti

1890-1891

Introduzione a cura di Alberto Conte

La geometria sull'ente algebrico semplicemente infinito, fondata da Riemann (Theorie der Abel'schen Functionen, 1857) si è poi sviluppata secondo tre importanti indirizzi, quello funzionale che da Riemann deriva, quello algebrico geometrico, opera soprattutto di Brill e Nöther (Über die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie, 1874) e quello algebrico-aritmetico di Kronecker, Dedekind e Weber.
Quando Segre muoveva i primi passi nella ricerca la scuola italiana era così fortemente dominata dalla corrente proiettiva da non comprendere l'importanza dei problemi affrontati e in parte risolti da Max Nöther. "Era necessario - scrive Castelnuovo - che quei problemi li ritrovassimo noi stessi sotto una forma più adatta alla nostra mentalità" (G. Castelnuovo, La geometria algebrica e la scuola italiana, Atti del Congresso internazionale dei matematici, Zanichelli, Bologna, 1929, I, p. 192). Una corrente di pensiero che, attraverso Klein si diffuse in Italia, condusse ad estendere la geometria proiettiva agli iperspazi; merito di Segre è quello di aver subito intravisto le applicazioni che si potevano fare della geometria iperspaziale alla teoria delle curve algebriche. Nell'introduzione alla fondamentale memoria del 1894 Segre scrive:

"Ora, nel fare, son già vari anni, delle ricerche sulle rigate algebriche, e in generale sulle varietà composte di spazi, avendo io avuto bisogno di valermi delle proprietà delle serie lineari studiate nella Memoria BRILL-NÖTHER, mi accorsi come ricorrendo invece alle rigate ed alle dette varietà di spazi, e rappresentando quelle serie lineari mediante curve iperspaziali nel senso già accennato, si potessero ritrovare (almeno in parte) quelle proprietà mediante semplici ragionamenti geometrici, evitando i calcoli algebrici o le considerazioni funzionali che occorrono per stabilire il teorema di NÖTHER fondamentale per quella Memoria" (Segre 1894, Opere, I, p. 199).

È appunto il metodo geometrico che Segre espone nel corso del 1890-91, metodo che non ha bisogno di "considerazioni funzionali, né sviluppi algebrici: unico modo con cui compare l'algebricità degli enti è con il principio di corrispondenza per le forme semplici razionali" (p. 200).
Segre fa precedere la trattazione vera e propria da una rapida introduzione agli iperspazi secondo il metodo puramente analitico (Cap.2°), dove, fra l'altro, sottolinea il duplice ordine di vantaggi che si ottiene dall'uso dei medesimi. Innanzitutto la massima generalità " in quanto si può dire che tutti gli enti geometrici e vari analitici (algebrici) vi rientrano. E non solo i sistemi o varietà lineari, ma ogni specie di varietà. Così la varietà delle rette dello spazio ord.° è una di ..". In secondo luogo la duttilità come strumento di ricerca per le varie applicazioni che essi possono ricevere nella geometria (pp. 16-17)
Nel capitolo terzo Segre dopo aver definito il punto di vista che utilizzerà per lo studio delle curve, cioè quello delle proprietà invarianti per trasformazioni birazionali, introduce le serie lineari sottolineando che il loro studio equivale a quello delle curve che rappresentano:

"I gruppi neutri della serie corrispondono ai punti multipli e spazi secanti della curva. I gruppi con punti variamente coincidenti ai punti ed iperpiani singolari della curva. Ed anche le varietà di un sist. lineare variamente tang.i alla curva. Come la dimens. della serie dà il numero delle varierà contenenti la curva" (p. 64)

Il capitolo si chiude con un rapido excursus storico e bibliografico sulla geometria sull'ente algebrico da Riemann agli ultimi lavori di Castelnuovo.
Segre procede poi, nelle sezioni successive del quaderno, a sviluppare la geometria delle serie lineari sopra una curva secondo il metodo iperspaziale, che esporrà in modo magistrale nella memoria del 1894, Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico semplicemente infinito, che, come scrive Severi, contiene "le radici" della geometria algebrica italiana e in cui "la sintesi in questo terreno ha raggiunto la sua efficienza massima. Mirabili ad esempio le dimostrazioni del teorema di Riemann-Roch e del principio di corrispondenza di Cayley-Brill" (Severi 1957, p. X). Un altro allievo, Terracini ricordando il maestro a molti anni di distanza scriverà :

"La sua Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico semplicemente infinito pubblicata nel 1894 sugli Annali di Matematica … è stata come la magna charta che ha fatto testo per la geometria sulla curva secondo le idee di Segre. Quell'Introduzione è il frutto di un corso tenuto da Segre qua a Torino nell'anno accademico 1890-91, nel quale - Segre ci teneva a dirlo - egli aveva esposto non solo il metodo geometrico, dovuto a lui e a Castelnuovo, ma anche quelli preesistenti: segnatamente il metodo algebrico di Brill e Nöther e quello trascendente di Riemann". (Terracini 1961, p. 12)

Accanto al metodo geometrico infatti, Segre svolge nel suo corso anche quello algebrico di Brill e Nöther (p. 144) e quello funzionale riemanniano (p. 157) animato dalla convinzione più volte espressa che tutti i metodi meritano di essere studiati perché ciascuno permette di vedere il problema da punti di vista diversi:

"L'argomento in fatti è tale - scrive Segre - che non è ben trattato se non si sviluppa sotto più aspetti. Ond'è che l'aver io qui preso ad esporlo dal punto di vista geometrico non va interpretato nel senso di una preferenza che a mio avviso si debba dare a questo metodo rispetto agli altri. Tutti meritano di essere studiati; ognuno ha i suoi pregi speciali; per ciascuno vi sono questioni, in cui esso va più in là, od almeno riesce più luminoso degli altri" (Segre 1894, Opere, p. 200)

Se è vero che nella memoria del 1894 Segre si limitava a presentare unicamente il metodo geometrico, tuttavia per suo espresso desiderio, sullo stesso volume degli Annali di matematica pura ed applicata usciva anche il lavoro di Eugenio Bertini, La geometria delle serie lineari secondo il metodo algebrico (22, pp. 1-40), dove l'autore espone il metodo algebrico di Brill e Nöther, offrendo così un punto di vista diverso rispetto a quello presentato dall'amico. Bertini si era accostato ai metodi di Segre e Castelnuovo nell'estate del 1890 quando trascorse alcuni giorni di vacanza in compagnia di Segre (cfr. Segre a Castelnuovo, 22.7.1890, Gario, Palleschi Cd-Rom 1998) e fu lui ad insistere affinché pubblicasse in litografia il corso del 1890-91. Segre in un primo tempo pensò di utilizzare gli appunti delle sue lezioni presi dall'allievo Fano, ma avendoli trovati "molto trascurati" e non tali da essere litografati se non dopo un lungo lavoro di revisione, abbandonò ben presto l'idea (Segre a Castelnuovo, 8.8.1891, Gario, Palleschi Cd-Rom 1998). Alcuni anni più tardi, nella prefazione al trattato Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspazi (Pisa, Spoerri, 1907), Bertini renderà omaggio a Segre scrivendo di aver utilizzato ampiamente "gli estesi sunti manoscritti" delle sue lezioni (p. V-VI).

Nel corso e nella successiva memoria del 1894 Segre, oltre a presentare con mirabile chiarezza un metodo ancora poco diffuso, coglie l'occasione per puntualizzare alcuni concetti fondamentali come quello di varietà algebrica e di corrispondenza algebrica fra due varietà (pp. 48-49). In particolare quest'ultima è considerata come una varietà algebrica contenuta nella varietà delle coppie ordinate di elementi delle due date (detta oggi varietà di Segre, cfr. Segre 1891c); definizione a partire dalla quale una decina di anni dopo l'allievo Severi costruirà una teoria sintetica delle corrispondenze algebriche fra curve e successivamente una teoria generale delle corrispondenze fra varietà. Segre inoltre predispone, come egli stesso sottolinea nell'introduzione alla memoria del 1894, le basi e gli strumenti di ricerca per la creazione della geometria sopra una superficie algebrica che sarà portata avanti nella sua scuola, con grande slancio creativo, da Castelnuovo e da Enriques.

A seguire il corso del 1890-91 vi sono fra gli altri il brillante allievo Gino Fano e Federico Amodeo, venuto da Napoli appositamente per lavorare con Segre, già ritenuto all'epoca il caposcuola della geometria algebrica italiana. Entrambi si cimentano nella soluzione del problema proposto da Segre a lezione : "Definire lo spazio Sr non già mediante coordinate, ma con una serie di proprietà dalle quali la rappresentazione con coordinate si possa dedurre come conseguenza". Nonostante l'invito di Segre a lavorare insieme, ciascuno pubblicherà un articolo per conto proprio. Fano nel suo lavoro (Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva in uno spazio lineare a un numero qualunque di dimensioni, Giornale di Matematiche, 30, 1892, pp. 106-132) si preoccupa, fra l'altro, di dimostrare l'indipendenza dei postulati tramite la ricerca di modelli adeguati e perviene così alla creazione di nuove geometrie (finite) che una decina di anni più tardi saranno sviluppate da O. Veblen (cfr. Avellone, Brigaglia, Zappulla 1998, pp. 23-30).