Introduzione Quaderno 6

Teoria delle Singolarità delle Curve e delle Superficie Algebriche

1894-95

Introduzione a cura di Paola Gario

Il contesto

La stesura di questo quaderno fu per Segre l'occasione di rivedere e approfondire teorie importanti facendone l'oggetto delle proprie ricerche e apportandovi contributi originali. Per comprendere le ragioni e le finalità di questo corso è opportuno ripensare all'attività scientifica di Segre di quel periodo, alla luce delle importanti ricerche che si stavano sviluppando in Italia.

La geometria sopra una curva aveva avuto una completa sistemazione con la reinterpretazione iperspaziale che Segre e G. Castelnuovo avevano dato negli anni che questi trascorse a Torino (1887-1891). Documenti significativi e importanti sono a questo proposito i quaderni delle lezioni di Segre dei corsi del 1890-91 (Quaderno 3) e 1892-93 (Quaderno 5), rielaborati nella memoria Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico semplicemente infinito (Segre 1894a), la cui stesura definitiva richiese ancora un certo impegno essendo stata presentata per la pubblicazione solo alla fine del 1893. La memoria di Segre fu pubblicata contemporaneamente a quella di E. Bertini La geometria delle serie lineari secondo il metodo algebrico (Annali Mat. pura ed applicata, 2, 22, 1894, pp. 1-40) in cui l'articolo di A.W. Brill e M. Nöther del 1873, Ueber die algebraischen Functionen und ihre Anwendbarkeit in der Geometrie (Math. Annalen, 7, 1873, pp. 269-310), trovava un'esposizione più chiara e completa. Quando, nell'autunno del 1891, F. Enriques si laureò a Pisa, i risultati fondamentali riguardanti la geometria sopra una curva erano ormai pressoché acquisiti e, allorchè nel 1892 si trasferì a Roma per studiare sotto la guida di Castelnuovo, questi indirizzò le sue ricerche verso la teoria generale delle superfici algebriche. Di questi primi studi è rimasta testimonianza diretta nelle lettere di Enriques (Bottazzini U., Conte A., Gario P. (a cura di), Riposte Armonie. Lettere di Federigo Enriques a Guido Castelnuovo, Bollati Boringhieri, Torino 1996) e di Segre indirizzate a Castelnuovo. Dopo pochi mesi, nel giugno del 1893, Segre poté annunciare all'Accademia delle Scienze di Torino la memoria di Enriques, Ricerche di Geometria sulle superficie algebriche (Mem. Acc. Scienze Torino, 44, 1893 - Memorie Scelte di Geometria 1, pp. 31-106), sottolineando l'originalità e l'importanza dei risultati ottenuti insieme alla necessità di colmare con successivi studi le lacune che essa ancora conteneva.

Una delle difficoltà nel dare fondamento alla teoria generale delle superfici algebriche era legata al problema delle singolarità. A questo proposito in una lettera del maggio del 1894 Enriques scriveva a Castelnuovo (Riposte armonie cit., pp. 101-102):

"Il Segre (colla sua memoria e con una cartolina) ha richiamato la mia attenzione sulla memoria di Kobb: essa contiene in sostanza (se ho ben capito) la trasformazione di una superficie in una con singolarità ordinarie (o senza singolarità in un iperspazio). Infatti sia F una superficie con punto multiplo O. Considero le quadriche per O e faccio segare da piani le sezioni d'un sistema : O si muta in una curva multipla e in punti multipli; a ciascuno di questi applico lo stesso processo. Infine ad O si sostituiscono tante curve multiple senza punti multipli particolari perchè il processo deve finire avendo O un numero finito di intorni (rappresentati da un numero finito di serie). Lo stesso processo pare si applichi alle curve multiple; ma è specialmente dei punti multipli che a me importa. Mandar via questi vuol dire avere sulla superficie dei sistemi senza curve fondamentali che danno noia, pei quali l'aggiunto coincide collo pseudoaggiunto [subaggiunto]; ed allora non dispero di estendere a tutte le superficie di genere geometrico 0 il teorema sull'invariantività del genere numerico posto come nel cap. III delle mie Ricerche."

Nella memoria Sur la Théorie des fonctions algébriques de deux variables (Journ. Math. pures et appl., 8, 1892, pp. 385-420), G. Kobb aveva dato una rappresentazione analitica dell'intorno di un punto singolare isolato di una superficie algebrica, dimostrando che è possibile rappresentare tale intorno mediante un numero finito di sviluppi in serie di potenze intere di due variabili ausiliarie. Per ottenere tali sviluppi, riferendosi al metodo che K. Weierstrass aveva illustrato per le curve nelle sue Lezioni sulle funzioni abeliane Theorie der abel'schen Functionen (Druck und Verlag, Berlin 1856), Kobb applica successivamente delle trasformazioni quadratiche dello spazio che a suo avviso produrrebbero, sulle superfici trasformate, curve multiple i cui punti avrebbero singolarità non superiore a quella del punto di partenza affermando inoltre, che il numero delle trasformazioni quadratiche per le quali la singolarità dei punti delle curve, trasformate successive del punto dato, non diminuisce è finito. Segre, nel capitolo della sua memoria riguardante le prime generalità della geometria sopra una varietà di dimensione qualunque, cita il contributo di Kobb senza proporre osservazioni o precisazioni critiche, cosa che poteva anche indurre a pensare che i risultati di Kobb sullo scioglimento delle singolarità fossero esaurienti. In effetti in questa occasione Segre non entra nei dettagli di ciò che tratta. L'interesse di Segre per la teoria generale delle superfici algebriche e l'intenzione di dare un proprio contributo in questo campo è confermata dalla corrispondenza che egli intrattenne durante l'estate del 1894 con Castelnuovo. "Poi studierò le superficie e cercherò di estendere ad esse la mia ultima Memoria" scriveva nel luglio di quell'estate (Gario P., Singolarità e Geometria sopra una Superficie nella Corrispondenza di C. Segre a G. Castelnuovo, Archive Hist. Exact Sci., 43, 1991, p. 159) e in una lettera dell'8 agosto Segre accennava al programma del corso di Geometria superiore che di li a pochi mesi avrebbe iniziato a svolgere:

"Mi piacerebbe riuscire ad architettare il corso sulle superficie. Sarà questa la mia occupazione di queste vacanze. Avrò s'intende la solita difficoltà di dover prima per qualche mese prepararmi gli uditori... Ed anche dopo di ciò non vedo bene come ordinare e scegliere il materiale esistente. Quanto ad aggiungere io del nuovo, ho ben poca speranza!" (Gario 1991 cit., p.160).

Il Corso del 1894-95 doveva dunque essere dedicato alla teoria delle superfici algebriche, ma in una lettera successiva (13.9.1894) Segre comunicava all'amico di aver abbandonato il progetto di un corso di carattere generale

"perchè tu (e l'Enriques) renderai in pochi mesi antiquato ciò che ora si potrebbe fare... D'altra parte l'argomento è così vasto che io potrò solo fare qualche cosa in un anno: e forse potrò scegliere qualche capitolo che non sia tanto imperfetto come altri. Così sarebbe forse utile un po' di studio delle singolarità delle superficie... non fosse che per vedere fino a qual punto si possono cacciare via" (Gario 1991 cit., pp. 160-161).

La scelta quindi di limitare i suoi studi e il programma del corso a qualche "capitolo" della teoria delle superfici, è dunque dettata dagli importanti risultati che Enriques e Castelnuovo avevano in vista. Le ricerche di Segre sulla teoria delle singolarità nascono dunque in questo contesto con l'intenzione espressa di stabilire, come già era stato fatto per le curve algebriche piane, dei teoremi di risoluzione e delle tecniche di analisi delle singolarità per le superfici algebriche. In realtà Segre limitò il programma del corso di quell'anno alle singolarità delle curve piane mentre il caso delle superfici è accennato solo nelle parti preliminari e di carattere generale:

"Quanto al mio corso, finchè si tratta di singolarità ordinarie o straordinarie facili, metto insieme le curve e le superficie. Ma quando passerò alle singolarità superiori dovrò far la separazione: prima le curve e poi le superficie. E a dirtela in confidenza non son sicuro che avanzi poi tempo per queste ultime!" (Gario 1991 cit., p. 166).

La teoria delle singolarità delle superfici algebriche sarà in effetti trattata in maniera approfondita nell'ultima parte del corso di Geometria superiore del 1896-97, Lezioni sulle singolarità delle curve e superficie algebriche (Quaderno 8), dopo la pubblicazione dell'importante memoria Sulla scomposizione dei punti singolari delle superficie algebriche (Segre 1897a).

I contenuti

Il quaderno del 1894-95 ha la struttura di un vero e proprio trattato sulla teoria generale delle curve algebriche piane, con particolare riguardo alla teoria delle singolarità. In esso si coglie lo sforzo di chiarire e di semplificare i punti oscuri o complessi della teoria che è trattata da diversi punti di vista con continui e ricchi riferimenti bibliografici. Nell'indice gli argomenti principali, capitoli, sono sottolineati; gli altri argomenti indicati costituiscono invece i paragrafi secondo i quali si sviluppa un capitolo. Il quaderno presenta dunque un'esposizione completa e accurata delle ricerche riguardanti l'analisi e la risoluzione delle singolarità delle curve algebriche piane svolte da diversi autori nella seconda metà dell'Ottocento e illustra in tutti i dettagli sia il procedimento di analisi sviluppato da Nöther, basato sulle trasformazioni quadratiche del piano, che quello basato sugli sviluppi in serie, dovuto a Puiseux, e i legami tra i due metodi.

Alcuni argomenti, soprattutto nei "Preliminari", sono solo accennati o semplicemente indicati come temi da trattare. Alle trasformazioni birazionali del piano sono dedicati pochi cenni perché Segre può rinviare al quaderno del corso dell'anno precedente Introduzione alla geometria delle trasformazioni birazionali del piano (Quaderno 5) dove sono ampiamente studiate. Particolarmente interessante è il capitolo "Intersezioni di 2 curve" in cui Segre presenta uno studio originale e approfondito, notevole per chiarezza, del risultante. In effetti questa parte del corso sarà poi pubblicata nel 1898 nell'articolo Le molteplicità nelle intersezioni delle curve piane algebriche (Segre 1898). Originale e interessante è anche il capitolo sull'Hessiana di una curva e di una superficie, che offre uno studio molto dettagliato delle singolarità dell'hessiana e della curva parabolica di una superficie. Da questa parte del corso saranno tratti due articoli Sulla forma Hessiana del 1895 (Segre 1895) e Su alcuni punti singolari delle curve algebriche e sulla linea parabolica di una superficie del 1897 (Segre 1897b).

I rinvii bibliografici forniti da Segre, anche se non completi, consentono in generale di identificare l'opera a cui egli intendeva riferirsi. L'unica eccezione che abbiamo riscontrato è il rinvio in nota alle pp. 52-53 del quaderno, ove, a proposito delle formule di Plücker per le curve piane, si legge:

"Dati 6 interi positivi n, d, r, n', d', r' che verifichino queste formule di Plücker, non esistono in generale sempre curve irriducibili corrispondenti. Un primo esempio di ciò sembra quello dato da Crone Acta Math. II p. 89, cioè la non esistenza di C6 (sottointeso irriducibili) con 7 cuspidi e 1 nodo. Le citazioni di Loria p. 47 non corrispondono bene al problema: poichè là verrebbero caratteri Plückeriani negativi!"

Osserviamo per inciso che l'affermazione di C. Crone riportata da Segre non è corretta: Beniamino Segre nell'articolo Esistenza e dimensione di sistemi continui di curve piane algebriche con dati caratteri (Rend. Acc. Lincei, 10₂, 1929, pp. 31-38) dimostrerà l'esistenza "di tutte le curve aventi caratteri plückeriani non negativi, per valori sufficientemente piccoli dell'ordine o del genere" deducendo in particolare l'esistenza di sestiche con un nodo e sette cuspidi.

Il lettore osserverà infine che nel quaderno si trovano rinvii ad articoli pubblicati anche in anni successivi: Segre aveva infatti l'abitudine di aggiornare i suoi corsi con note bibliografiche e a volte con correzioni di qualche affermazione rivelatasi non corretta.

La cura e la dedizione con cui Segre preparava le sue lezioni era nota ai colleghi e dunque i suoi quaderni di appunti erano sovente dati in prestito a chi gliene faceva richiesta. Bertini li consultò per la stesura del suo celebre trattato Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspazi (E. Spoerri, Pisa 1907) e in particolare l'Appendice, che riguarda le singolarità delle curve algebriche, ricalca in modo evidente, anche nella successione degli argomenti, la trattazione fattane da Segre in questo Corso. Il quaderno del 1894-95 è inoltre citato da Enriques e Chisini nelle loro Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche (Voll. I-IV, Zanichelli, Bologna 1915-1934) ed esso fu utilizzato anche da Severi nella stesura del suo Trattato di Geometria algebrica (Zanichelli, Bologna 1926).