L'influenza di Felix Klein e le ricerche di geometria iperspaziale

I primi lavori di Segre riguardano essenzialmente la geometria degli iperspazi. Nel 1877 d'Ovidio aveva pubblicato un’importante memoria lincea, in cui si trovano i primi sviluppi della geometria iperspaziale da un punto di vista metrico-proiettivo e, nel 1882, usciva sui Mathematische Annalen la fondamentale memoria di geometria degli iperspazi di Giuseppe Veronese, in cui per la prima volta la geometria di uno spazio ad n dimensioni veniva "organizzata sistematicamente quale scienza geometrica" come afferma Segre stesso nel suo pregevole articolo Mehrdimensionale Räume (Segre 1921c) sulla Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. In questo clima e in questo ambito si inserivano la dissertazione di laurea e la prima produzione scientifica del giovane Segre. Con un sapiente ricorso a recenti risultati algebrici di K. Weierstrass e di G. Frobenius, egli seppe dare una sistemazione geometrica e analitica alla geometria proiettiva iperspaziale portandola a quel grado di sviluppo necessario per fare di essa uno strumento per le ulteriori ricerche della scuola italiana di geometria. In alcune brillanti memorie Segre mostrò anche l’utilità di ricorrere agli iperspazi per studiare proprietà dello spazio ordinario S₃. Esempio notevole è la memoria del 1884, Étude des différentes surfaces du 4^e ordre à conique double ou cuspidale (générale ou décomposée) considérées comme des projections de l’intersection de deux variétés quadratiques de l’espace à quatre dimensions (Segre 1884e) in cui studia e classifica le superfici di 4° ordine con conica doppia, considerandole come proiezione dell’intersezione di due quadriche dello spazio a quattro dimensioni (cfr. UBG, Segre a Klein, Torino 19.1.1884, 4.5.1884, 24.9.1884). La considerazione che sta alla base di questo lavoro era stata fatta anche e indipendentemente da Veronese e costituisce il germe della nozione di varietà normale. Fin da ora emerge il tratto peculiare dell’opera scientifica di Segre, vale a dire il carattere prettamente "geometrico" e l’abile intreccio di procedimenti sintetici e di metodi analitici, utilizzati questi ultimi unicamente allo scopo di dedurne "risultati che dicano qualche cosa alla sua intuizione o che egli ha previsti mediante la sua intuizione" (Terracini 1958, p. VI). Scriveva in proposito Francesco Severi:

Per Veronese, per Segre, per Bertini, per tutti i nostri Maestri insomma di geometria iperspaziale, punti, rette, piani di un S_n lineare, sono vere entità geometriche e non meri attributi di entità analitiche. Lo spazio lineare a n dimensioni per loro è come se realmente esistesse. Non ridotto cioè alle ombre di una banale finzione del linguaggio." (Severi 1957, pp. VII-VIII).

e lo stesso Segre, scrivendo a Felix Klein, affermava:

"Ce que Vous me dites sur l'effet que vous font les raisonnements synthétiques de géométrie à n dimens. ne me surprend pas; c'set seulement en vivant dans Sn , en y pensant toujours, qu'on devient familier avec ces raisonnements" (UBG, Segre a Klein, Torino 11.5.1887).

A esercitare, infatti, un'influenza decisiva per quanto riguarda il metodo di lavoro fu soprattutto Klein, che Segre considerò sempre come un maestro:

"L'une des causes principales pour lesquelles la lecture de vos travaux a toujours un grand attrait pour moi et laisse toujours sa trace dans mon esprit est justement en ce qu'elle me force toujours à penser en me donnant des idées nouvelles et larges, qui regardent toujours le fond des théories dont il s'agit. Par exemple je n'oublierai jamais l'effet qu'ont produit sur moi, la première fois que je les ai lus, vos travaux des premiers tomes des Math. Ann. et le programme de 1872, et puis votre petit livre sur la théorie des fonctions algébriques suivant Riemann!"(UBG, Segre a Klein, Torino 1.9.1884).

"Maitre de toutes les méthodes de recherche sur l'argument que vous aviez choisi, vous les avez usées toutes alternativement en éclairant par chacune sous un nouvel aspect votre thème. Cependant, parmi toutes, la méthode qui me plait le plus, par mes inclinations scientifiques, est celle qui surtout vous est due: celle géométrique, ou pour mieux dire, synthétique car elle fait usage de raisonnements ingénieux au lieu de longs calculs (je suis, par nature, peu ami de calculs; non pas qu'il me manque la patience de les faire, car je puis dire sans vanterie d'avoir assez de patience pour en faire de si longs qu'on voudra, - mais parce qu'ils me semblent souvent un peu …abrutissants, et que les raisonnements me semblent toujours préferables)" (UBG, Segre a Klein, Torino 7.10.1884).

E, ancora nel 1921, a pochi anni dalla morte, riconosceva il ruolo guida di Klein: "Ella è stata il mio Maestro, pur essendo noi a tanta distanza!" (UBG, Segre a Klein, Torino 24.2.1921). Klein infatti, fin dall'anno della laurea, gli suggeriva letture, lo stimolava verso certe ricerche, rileggeva i suoi lavori e lo metteva in relazione con altri matematici che si occupavano degli stessi problemi (A. Hurwitz, H. Schubert, F. Schur, ecc.), e Segre lo ricambiava rivedendo le bozze dei suoi lavori e suggerendogli sovente chiarimenti e perfezionamenti (cfr. per esempio UBG, Segre a Klein, Torino 5.1.1884, 19.1.1884, 1.5.1884, 10.5.1884). Lo testimonia la corrispondenza scientifica fra il giovane matematico e l'illustre tedesco (49 lettere dal 1883 al 1923) che è fittissima negli anni 1883-84 con una media di due lettere al mese.

Gli inizi torinesi della scuola italiana di geometria algebrica

A partire dal 1886 i lavori di Segre mostrano un ampliamento dell’orizzonte sotto l’influsso da un lato della nuova impostazione della scuola tedesca di A. Brill e M. Nöther e dall’altro delle idee esposte da F. Klein nel suo celebre Programma di Erlangen, di cui egli promosse la traduzione in italiano ad opera dell’allievo Gino Fano ("Je voudrais, pour l'avantage des géomètres italiens qui ne le connaissent presque pas, en publier une version italienne que je ferais faire par un de mes élèves (qui l'a même déjà ébauché) et que je corrigerais moi- même avec les plus grands soins", cfr. UBG, Segre a Klein, Torino 19.11.1889).

"Questo lavoro - scrive Segre - non è, a mio avviso, abbastanza noto ai giovani geometri italiani; ed è specialmente per essi che ho desiderato si facesse questa ristampa. Tante idee generali ed ingegnose che si trovano in queste pagine, […] tante giuste osservazioni che mettono sotto la luce più vera e precisano nel miglior modo il carattere di vari argomenti e varie dottrine, e specialmente di alcune più discusse, come quella delle varietà più volte estese, e la geometria non euclidea: tutte queste son cose o non sufficientemente conosciute e studiate dai giovani, o note solo per via indiretta. Su esse mi sia permesso richiamare tutta la loro attenzione"(Segre, [Nota] a G. FANO, Considerazioni comparative intorno a ricerche geometriche recenti (traduzione), Annali di mat. pura ed appl., s. 2, 17, (1890), p. 307-308).

Negli studi di Segre si verifica, pertanto, il progressivo distacco da una ristretta visione proiettiva per giungere allo studio delle proprietà invarianti per trasformazioni birazionali. I primi segnali di questo spostamento di interesse si possono rintracciare in una nota del 1886 sulle trasformazioni uniformi delle curve ellittiche in sé, ma è soprattutto nella memoria sulle rigate algebriche, pubblicata in due parti sui Mathematische Annalen (Segre 1887b e 1889a) che l’indirizzo di ricerca diventa più netto. In una brevissima nota del 1887, Sui sistemi lineari di curve piane algebriche di genere p (Segre 1887d) affiora uno dei concetti fondamentali della geometria algebrica classica, quello di serie caratteristica (sarà Castelnuovo ad attribuirle questo nome in un importante lavoro del 1891) di un sistema lineare di curve piane. Nell’autunno del 1887, per interessamento di Segre, giungeva a Torino come assistente di D’Ovidio Guido Castelnuovo e nasceva così una fruttuosa collaborazione scientifica destinata a durare anche dopo che, vincitore di cattedra, egli si trasferì nel 1891 a Roma (cfr. Gario 1991). Il lavoro culminante e riassuntivo di questo periodo è l’importante memoria Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico semplicemente infinito (Segre 1894a) in cui confluivano le ricerche torinesi di Castelnuovo e che, come scriveva Severi, contiene "le radici" della geometria algebrica italiana. In essa

"la geometria delle serie lineari sopra una curva viene appunto esposta secondo il metodo iperspaziale, sottolineando che non occorrono in essa né considerazioni funzionali né sviluppi algebrici e che l’algebricità degli enti interviene soltanto attraverso il principio di corrispondenza di Chasles! La sintesi in questo terreno ha raggiunto la sua efficienza massima. Mirabili ad esempio le dimostrazioni del teorema di Riemann-Roch e del principio di corrispondenza di Cayley-Brill." (Severi 1957, p.10).

TORINO, VIA PO A FINE '800, SEDE DEL PALAZZO DELL'UNIVERSITA' 

A Segre si deve la definizione di corrispondenza fra due varietà come una sottovarietà del prodotto cartesiano delle due varietà date; inoltre egli fu il primo a definire il prodotto di spazi lineari, ora detto varietà di Segre (1891).

La geometria proiettiva, che aveva suscitato gli entusiasmi giovanili di Segre e costituisce un poco il leit-motiv di tutta la sua produzione scientifica, ritorna ad attrarlo fra il 1889 e il 1891 e in particolare è la teoria degli elementi immaginari di K.G.C. Staudt a risvegliare il suo interesse. Nel 1887 Segre aveva infatti invitato Mario Pieri (cfr. C. Segre a M. Pieri, Torino 11.10.1887, Arrighi 1997, p. 113 e UBG, Segre a Klein, Torino 14.10.1887) a tradurre la Geometrie der Lage di Staudt che uscì nel 1889 preceduta da un pregevole studio bio-bibliografico di Segre stesso (Segre 1889b). Estendendo il campo di ricerca del matematico tedesco, egli ampliò il gruppo delle trasformazioni proiettive aggiungendovi quella che chiamò antiproiettività, cioè una corrispondenza in cui i birapporti di due quaterne di elementi corrispondenti sono numeri complessi coniugati. Segre sviluppò una teoria completa di tali corrispondenze e aprì la strada a un nuovo campo di ricerche geometriche, quello degli enti iperalgebrici. (Segre 1889-90, 1890-91 ). Nell’estate del 1891 Segre intraprese un viaggio in Germania allo scopo di visitare i principali istituti e biblioteche di quello che era un paese all’avanguardia nella ricerca matematica e di conoscere personalmente coloro che avevano così profondamente influenzato le sue ricerche. Visitò Göttingen, Frankfurt, Nürnberg, Leipzig e München ed ebbe modo di incontrare L. Kronecker, K. Weierstrass, M. Nöther, T. Reye, R. Sturm, M. Cantor e F. Klein, con cui aveva fino ad allora rapporti solo epistolari:

"Chi non è stato qui - scriveva a Castelnuovo - non può immaginare che razza d’uomo è Klein e che specie d’organizzazione egli ha saputo, con abilità che nessun altro può avere, imporre agli studi matematici in questa Università: è una cosa che m’ha fatto un’impressione straordinaria. E sì che d’impressioni vivissime da parte degli scienziati ne ho già avute parecchie in questo viaggio!" (C. Segre a G. Castelnuovo, Göttingen, 30.6.1891, Gario, Palleschi 1998).

All’epoca Segre aveva acquisito notevole fama anche all’estero tanto che nel Congresso internazionale dei matematici di Zurigo del 1897 fu invitato come vicepresidente della sezione di geometria e il suo allievo Fano tenne una delle sei conferenze della sezione. Poco prima di partire confessava a Volterra:

L’anno seguente la Commissione per il premio reale per la matematica dell’Accademia dei Lincei, composta da E. Beltrami, L. Bianchi, V. Cerruti, L. Cremona e E. D’Ovidio, gli assegnò una metà del premio a pari merito con Vito Volterra con una relazione molto lusinghiera in cui, fra l’altro, gli si riconosceva già allora il ruolo di caposcuola:

"L’opera scientifica del Segre è delle più ammirevoli. Egli ha lasciato tracce del suo forte ingegno e della sua grande e continua operosità in vasti campi, in parte ancora inesplorati. ... Né è da tacersi un altro e principale merito del Segre: di avere, cioè, avviato il presente indirizzo italiano degli studi di Geometria sopra una curva ed una superficie, contribuendovi egli stesso efficacemente." (Relazione sul concorso al premio reale per la Matematica, pel 1895, Atti R. Acc. Lincei, Rend. sedute solenni, 1 (1898), p. 367).

Le Leçons sur la théorie générale des surfaces di G. Darboux, che Segre utilizzava ampiamente nelle sue lezioni universitarie, probabilmente gli ispirarono un altro gruppo di lavori risalente agli anni 1907-1913, relativi a problemi di geometria proiettiva differenziale. è del 1907 il primo studio dedicato espressamente alla geometria proiettiva differenziale degli iperspazi, studio condotto con specifica attenzione per quelle superfici di un S_n proiettivo (in particolare di S₅) che rappresentano un’equazione di Laplace; è però in un lavoro successivo del 1910 che Segre poneva le basi per una costruzione sistematica di tale geometria (Segre 1910a, 1910b). La breve nota del 1908, Complementi alla teoria delle tangenti coniugate di una superficie (Segre 1908), che si riferisce invece allo spazio ordinario, segna un notevole progresso nella teoria generale delle superfici: qui Segre, generalizzando il concetto di tangenti coniugate, fu indotto, fra l’altro, ad introdurre quella particolare terna di rette tangenti uscenti da un punto di una superficie, oggi note come tangenti di Segre, la cui equazione differenziale fu stabilita da G. Fubini. Da segnalare anche, nel contesto della geometria differenziale, l'invariante, noto come invariante di Mehmke-Segre, relativo ad una coppia di curve tangenti. Segre svolse un ruolo di primaria importanza nello sviluppo della geometria algebrica italiana, sia per i suoi personali contributi, sia per aver creato una grande scuola; fra i suoi allievi più illustri, nei due decenni fra '800 e '900, sono da annoverarsi Guido Castelnuovo, Francesco Severi, Federigo Enriques, Gino Fano e Giovanni Z. Giambelli, Beppo Levi, Alberto Tanturri, Alessandro Terracini, Eugenio Togliatti, ma non si devono dimenticare tutti coloro che con lui discussero la tesi di laurea e su cui il suo insegnamento lasciò comunque un'impronta duratura.

Le "orge geometriche torinesi" di fine secolo

Nella Torino di fine Ottocento Segre seppe creare attorno a sé un clima di lavoro entusiastico e frenetico non esente da scontri e dibattiti a volte anche molto vivaci, ma sempre stimolanti, che portò i suoi frutti in tutta Italia. Vi erano coinvolti non solo i giovani che discutevano con lui la tesi di laurea sui temi più avanzati della ricerca, ma anche quei matematici appena laureati che, attratti dalla sua fama, si recavano a Torino, anche dall'estero, per seguire le sue lezioni e per perfezionarsi.

Si rimanda, per questa sezione a Livia Giacardi, Corrado Segre maestro a Torino. La nascita della scuola italiana di geometria algebrica (2001).

Il metodo di lavoro di Segre

Egli mise a punto uno stile, lo stile geometrico italiano, con canoni di metodo e canoni estetici: modo geometrico di argomentare, eleganza e semplicità nella trattazione. Esigenze queste che in qualche modo frenarono la sua vena creativa come ebbe modo di osservare l’allievo Castelnuovo:

"Va pure osservato che, mentre egli aspira ad aprire nuove vie alla indagine geometrica, non si sforza poi di percorrere queste vie fin dove appaiono feconde. La ricerca di semplicità ed eleganza che rende così attraenti i suoi scritti, l’avversione per i ragionamenti complicati ove si riveli lo sforzo, per i procedimenti arditi ai quali talora si è costretti a ricorrere nella fase della scoperta, lo hanno forse trattenuto dal troppo inoltrarsi nelle regioni che aveva cominciato ad esplorare. Pare quasi che un desiderio di perfezione artistica abbia talvolta frenato la curiosità del ricercatore." (Castelnuovo 1924, pp. 357-358).

Tommaso Boggio, invece, che apparteneva alla scuola di Peano, pur riconoscendo "la sua poderosa opera nel campo della geometria" e le "altissime doti della sua mente", sottolineava che:

"L’indole del suo Spirito lo portava ad affrontare sempre problemi nuovi e di grande generalità, piuttosto che soffermarsi su quelle questioni, pure molto interessanti, di critica e di analisi dei principi della Geometria, per le quali è specialmente segnalata ed apprezzata l’opera del Peano, del compianto Pieri e di altri ancora." (Boggio 1927-28, p. 315)

Quanto al metodo di lavoro di Segre così si espressero tre suoi colleghi e allievi:

"Egli usò di preferenza il ragionamento puramente sintetico, anche nelle circostanze in cui l’intuizione geometrica non poteva venire utilmente invocata; ma, quasi sempre, confermava le proprie conclusioni mediante opportune formule, la semplicità delle quali cela la profondità del pensiero. La sua tendenza e la sua propensione verso la geometria non gl’impedì di apprezzare a dovere la somma importanza e la irresistibile energia dell’analisi." (Loria 1924, p. 12).

"… Segre rinunciava ai vantaggi che provengono dall’applicazione metodica di un dato strumento analitico. Ma è da riconoscere che anche il metodo di Segre (se così lo si può chiamare, dato che esso consisteva nel non seguire un metodo analitico determinato) ha i suoi propri vantaggi: soprattutto quello di condurre costantemente a risultati geometricamente interessanti senza correre il pericolo che l’algoritmo possa prevalere sullo scopo al quale esso è dedicato." (Terracini 1958, pp. VI-VII).

"Il metodo costantemente seguito da Corrado Segre nelle Sue ricerche poggia su di un abilissimo, elegante e suggestivo intreccio di considerazioni sintetiche e di sviluppi algebrici, questi ultimi essendo ristretti al minimo e condotti in guisa da rilevare appieno il contenuto geometrico dei risultati, alle volte perfino dei singoli passaggi, e da fornire opportuni controlli nei punti più delicati ... Debbono pure venire rilevati il rigore - per i tempi non comune - che la pervade, a motivo del quale anche nelle più intricate questioni di classificazione vengono per es. evitate le sempre delicate considerazioni di continuità, la limpida eleganza dell’esposizione ed il fascino singolare che fin dai primi scritti riesce ad esercitare la forte tempra scientifica dell’A." (Segre B. 1961, pp. VIII-IX).

Benché le sue preferenze andassero al metodo sintetico rispetto a quello analitico, Segre seppe utilizzarli entrambi e ai suoi allievi raccomandò sempre lo studio simultaneo di analisi e geometria come emerge chiaramente, fra l'altro, dai quaderni manoscritti delle sue lezioni universitarie, oltre che dalla corrispondenza scientifica:

"Permetta ancora un'osservazione riguardo a geometri e analisti. - scriveva a Klein - È vero, e nessuno più di me ne è persuaso, che i geometri non tengono in generale abbastanza d'occhio i progressi dell'analisi, ma è del pari vero che gli analisti in generale disprezzano le geometria e non vi badano punto. Solo Lei e tutta la Sua scuola sanno valersi dell'Analisi quanto della Geometria e fonderle insieme in una scienza: la Matematica … Lo studio sintetico approfondito di un ente conduce spesso a risultati cui l'analista non era giunto e giungerà solo dopo che essi sono così ottenuti dal geometra" (UBG, Segre a Klein, Torino 17.10.1890)

"Cependant je ne manque jamais de recommender à mes amis comme à mes éléves l'etude simultanée de l'analyse et de la géométrie" (UBG, Segre a Klein, Torino 28.11. 1889)

E raccomandando a Klein l'allievo Fano che intendeva trascorrere a Göttingen un periodo di perfezionamento, scriveva:

"È dotato di molta memoria ed ha un ingegno vivace. Ma le sue tendenze sono essenzialmente geometriche, per la pura geometria. E quantunque io l'abbia eccitato ripetutamente a coltivare anche l'analisi, e nei miei corsi gli abbia fatto vedere non solo i metodi sintetici ma anche quelli analitici, egli finora è rimasto troppo esclusivamente geometra … credo che si possa rinforzarlo di molto come geometra se si riesce a fargli acquistare pienamente gli strumenti analitici …" (UBG, Segre a Klein, Torino 4.10.1893)