Introduzione Quaderno 29
Capitoli di Geometria Differenziale
1915-16 e
Geometria Differenziale
1923-24
Introduzione a cura di Franco Fava
I corsi di Geometria superiore che Segre dedicò alla geometria differenziale sono due, quello del 1915-16, Capitoli di geometria differenziale, cui si riferisce il presente quaderno, e quello che tenne nell'anno accademico 1923-24 in cui prematuramente morì, cui si riferisce il quaderno Geometria differenziale (Quaderno 37). Per questa ragione se ne darà una presentazione congiunta allo
Caratteri generali
Le tematiche dei due quaderni sono, grosso modo, le stesse: si trovano infatti sviluppati in entrambi gli argomenti classici della geometria differenziale delle curve e delle superficie dello spazio ordinario se pure con vicendevoli frequenti integrazioni in merito a particolari argomenti. Sarebbe tuttavia improprio ritenere a priori che Segre abbia inteso ripetersi nel corso del 1923-24. I due quaderni si differenziano per due aspetti di carattere generale: nel primo la materia è inquadrata in uno schema più rispondente alle legittime esigenze di un cultore di geometria proiettiva differenziale quale egli fu, mentre nel secondo, peraltro più ricco di risultati e applicazioni, gli aspetti metrici prevalgono su quelli proiettivi.
Nel quaderno del 1923-24 vi è poi una novità, di significato che si può dire "storico", rappresentata dall'uso del calcolo vettoriale e cioè di quell'algoritmo che allora stentava assai ad affermarsi: ciò costituisce un'ulteriore conferma della non comune apertura di Segre nei confronti del progredire della matematica nelle sue diverse accezioni.
Sono ben noti i toni polemici che animavano le discussioni tra "vettorialisti" e "antivettorialisti"; un'idea della vivacità di questi si può avere da quanto si legge, ad esempio, in >P. Burgatti. T. Boggio. C. Burali Forti, Analisi vettoriale generale e applicazioni, vol. II, Geometria Differenziale (Zanichelli, Bologna 1930) che, a nostro avviso, bene li evidenzia:
"È strano che proprio ai geometri debba ripugnare l'uso di questi metodi. G.L. ("Boll. di Matematica ", a. 1928, p. LVII) chiama "fanatici ciechi" coloro che sistematicamente si servono di enti assoluti e, pure sistematicamente, non fanno uso di coordinate. Ergo "fanatici ciechi" anche coloro che fanno uso soltanto di coordinate; con questa differenza: quelli oltre agli enti geometrici assoluti, hanno a disposizione anche le coordinate di qualunque specie, che possono ottenere in modo geometrico e rapido; questi devono contentarsi delle coordinate, facendo sparire la geometria" ( p. VIII, nota 3)
Anche in questi quaderni Segre, comunque, non dà adito a smentite nella visione geometrica che ispira la sua opera sia di ricercatore che di didatta. Egli infatti, sistematicamente, procede con metodi intuitivo-geometrici nei suoi ragionamenti e, molto spesso, i procedimenti algoritmici sono utilizzati unicamente a titolo di verifica; a differenza di altri matematici, quali L. Bianchi e G. Fubini, la via del calcolo non rientra in una metodica generale, ma presenta quelle caratteristiche che, di volta in volta, sono richieste dai problemi trattati.
I testi a cui viene fatto riferimento sono, in linea di massima, i trattati di geometria differenziale di G. Darboux e di L. Bianchi, sono però molto frequenti in ciascuno dei due "libretti" (così li chiamava Segre) i rinvii ad altri testi e a ricerche originali, che, oltre a documentare la cura con cui Segre preparava le sue lezioni, sono fonti di grande interesse anche per eventuali indagini di carattere storico-scientifico.
I contenuti del quaderno "Capitoli di geometria differenziale"
Il contenuto del quaderno del 1915-16 è strutturato con distinzione netta dei punti di vista differenziale proiettivo e metrico; la geometria differenziale proiettiva occupa la prima parte (pp. 7-99), quella metrica le pagine seguenti fino alla 185. Le rimanenti pagine (pp. 186-235) contengono sviluppi, aggiunte e anche varianti di argomenti trattati nelle pagine precedenti.
I temi affrontati nella prima parte sono,
per sommi capi, i seguenti: curve piane e sghembe, retta tangente e piano
osculatore, superficie e piano tangente, enti duali dei precedenti con
particolare riguardo agli inviluppi (di curve e superficie) e alle congruenze
di linee. Nel contesto della "geometria proiettiva" indotta
dalla superficie (sorprende la terminologia usata da Segre (p. 48)
ove è detto: "i raggi doppi dell'involuzione di tangenti coniugate
si chiamano tang.i principali (?) o asintotiche", cfr.
anche il quaderno del 1923-24: Quaderno
37, pp. 61,
67,...) è messo in evidenza il ruolo che ha l'equazione di Laplace (p.
57), equazione
che poi viene ripresa trattando le congruenze rettilinee (p. 85).
Le asintotiche vengono determinate per alcune importanti classi di superficie;
fra queste sono da annoverare le superficie di rotazione, gli elicoidi,
le rigate in complessi lineari ed, in particolare, la classe di superficie
rappresentate dall'equazione 
(p. 65,
superficie che De la Gournerie studiò (1865) con il nome "tétraédrales
symétriques"; per r
= 1/2 si ha la superficie romana di Steiner); ad esclusione delle rigate,
si tratta di casi in cui la determinazione delle asintotiche viene fatta
tramite quadrature. Ampio spazio occupano le congruenze rettilinee (pp.
75-99),
argomento questo che fu oggetto di ricerche dello stesso Segre i cui contributi
si riferiscono principalmente a congruenze W (da menzionare il caso delle
congruenze luogo di ¥1
schiere rigate, cfr. Segre 1906-07
e Segre 1913-14).
Nel testo non mancano cenni a problemi proposti: ad esempio, con riferimento
alla costruzione di congruenze W mediante complessi lineari, Segre cita
Bianchi (p. 95)
con la seguente aggiunta: "Si cerchino dimostrazioni geometriche
delle proposizioni di Bianchi".
Gli aspetti metrici della geometria differenziale delle curve e delle superfici si possono dire focalizzati sulla rappresentazione sferica (introdotta da L. Euler nel 1782); la teoria della curvatura, sia nel caso delle curve che in quello delle superficie, è sviluppata con ampiezza: in questo contesto si inserisce la trattazione dell'applicabilità fra superficie, delle superficie ad area minima, delle superficie a curvatura costante e non mancano cenni alla geometria non euclidea e alle rappresentazioni conformi.
Sono pure menzionati i sistemi tripli ortogonali (p. 162); in tale contesto Segre dà una dimostrazione semplice di un teorema dello stesso Dupin in sostituzione di quella originale dell'Autore "sintetica non tanto semplice".
I contenuti del quaderno "Geometria differenziale"
In questo quaderno (Quaderno 37, 103 pagine di testo e 24 di "complementi") la geometria differenziale delle curve e delle superficie, come è stato anticipato, non viene inquadrata distinguendo i punti di vista proiettivo e metrico; il discorso matematico, nei suoi riflessi didattici, è ridotto all'essenziale: conseguenza di ciò è una più cospicua messe di risultati a lato di argomenti inseriti nel quaderno precedente.
L' esposizione è anche agevolata dall'uso ricorrente del "calcolo vettoriale". Il suddetto formalismo viene subito introdotto trattando le curve sghembe e, in particolare, le formule di Frenet; dedotte le formule per altra via, Segre annota: "vogliamo vedere come vengono [le formule in questione] con il calcolo vettoriale" (p. 11). In proposito è da rilevare che alcune pagine (pp. 11, 12, ...) sono dedicate alla presentazione dei fondamenti del calcolo vettoriale, fatto questo che conferma come Segre fosse ben consapevole della riluttanza di molti matematici dell'epoca ad usare quei metodi di calcolo.
Nel ricavare le equazioni intrinseche di una curva viene fatto ricorso ad eleganti procedimenti e, poiché questi prescindono dall'intuizione, Segre non manca di mettere il lettore al corrente di questa "anomalia" (p. 15) invitandolo a vedere "nel corso 1915-16, p. 111, l'intuizione di questi teoremi" (Quaderno 29, p. 111)
Inviluppi, sistemi di linee, congruenze, sviluppabili, evolventi ed evolute sono oggetto dei "Preliminari". È da notare, rispetto all'indice riportato all'inizio del quaderno, l'inversione dei Capitoli I e II che deriva, presumibilmente, da una certa "autonomia" di contenuti. Uno studio ampio è fatto nel caso di curve di particolare interesse quali, ad esempio, le curve di Bertrand.
Nell'ambito dei problemi metrici, è ampiamente sviluppata la teoria dell'applicabilità; significativa è la nota di p. 41 con cui si precisa che "Bour nel 1860 trattò per primo il problema generale di determinare tutte le superficie con ds2 (assegnato)." La nozione di geodetica è introdotta tramite il piano osculatore; stabilita l'equivalenza della definizione adottata con la proprietà di minimo, Segre vuole rendere intuitiva la circostanza suddetta e ciò gli riesce per mezzo di un ragionamento che ricorda quello di Monge.
Nel quadro delle trasformazioni conformi vengono evidenziati aspetti applicativi collegati, ad esempio, alla proiezione stereografica come il tracciamento delle carte geografiche.
La teoria della curvatura è corredata da tutto l'apparato standardizzato a quell'epoca; la trattazione risente naturalmente della "personalità" dell'Autore. Come di consueto vengono puntualmente fatti i riferimenti alle fonti (Meusnier, Gauss, ecc.). Alla curvatura totale (di una porzione di superficie) è rivolta particolare attenzione: molti risultati classici, in particolare il teorema di Gauss sui triangoli sferici, sono dedotti con argomentazioni prevalentemente sintetiche e sfruttando opportunamente la rappresentazione sferica. Il caso della superficie a curvatura costante riveste un ruolo particolare finalizzato peraltro, cosa che Segre qui fa molto dettagliatamente, all'interpretazione delle geometrie non euclidee.
Le congruenze W sono studiate in relazione alla superficie W; le asintotiche e i problemi collegati sono esaminati solo nei loro aspetti essenziali, mentre piuttosto dettagliata e consistente è la trattazione di quanto si attiene alle superficie minime (pp. 104-108 e 124-129).